A Monty Hall-probléma valószínűségi probléma, amelyet a Let’s Make a Deal amerikai televíziós program inspirált.
A nevet a programot bemutató személy ihlette: Monty Hall.
Ezt a műsort 1963 és 1986 között sugározták.
A Monty Hall problémájának megállapítása
A Monty Hall-probléma egyik résztvevője három ajtóval rendelkezik, és lehetősége van közülük egyet választani. Választása alapján megnyerheti az ajtó mögé rejtett díjat. Ezért minden ajtó mögött van egy jutalom, az egyik ajtóban jármű, a másik kettőben pedig egy kecske.
Miután a résztvevő kiválasztotta az ajtót, a moderátor vagy a műsorvezető kinyitja a másik két megmaradt ajtó egyikét. Mivel a moderátor tudja, mi van minden ajtó mögött, kinyit egyet, amely elrejti egy kecskét, és megmutatja a résztvevőnek.
Ezt követően két lehetőséget kap: 1) tartsa meg a választott ajtót, vagy 2) változtassa meg a kezdeti választást.
Végül felmerül a kérdés, hogy jobb-e a résztvevőnek megváltoztatni vagy fenntartani a választását?
A Monty Hall probléma megoldása
A Monty Hall-probléma legegyszerűbb megoldása intuitív. Annak a valószínűsége, hogy nyereményként az ajtót választja a járművel, 1/3 (⅓). Eközben a veszteség esélye ⅔.
Vagyis ha megtartja a kezdeti választást, akkor megtartja a siker valószínűségét. Másrészt, ha megváltoztatja a választását, a jármű megnyerésének valószínűsége ⅔-ra nő.
Ezért a Monty Hall probléma azt mutatja, hogy a résztvevőnek változtatnia kell a választásán, hogy maximalizálja az autóválasztás esélyét.
Ez a helyzet a következő fadiagramon látható. A teljes valószínűséget az egyes szegmensek valószínűségének szorzatával találjuk meg. Hasonlóképpen, a végén hozzáadódik annak valószínűsége, hogy az ajtócserével eltalálják vagy elütik. Például, amikor a nyeremény az 1. ajtón van, és másikat választunk (2 vagy 3), mindkét esetben az opció megváltoztatásával nyerjük el. Ezért ha először tévedsz (ez a legvalószínűbb lehetőség), a választás megváltoztatásával növeled a nyerési esélyeidet. Eközben, ha úgy dönt, hogy megtartja a kezdeti opciót, akkor a nyerési esély ugyanaz, mint az elején: ⅓.
Vannak finomabb matematikai és statisztikai módszerek is, amelyek azt mutatják, hogy ez az eredmény fennáll. Ez akkor is így van, ha a kísérletet megismétlik a kapuk számának növelésével.
Miért gondolhatjuk, hogy az első lehetőség megtartása a helyes válasz?
Néhány oka annak, hogy egyesek nem a legjobb megoldást választják:
- Felszámolják, hogy az események nem függetlenek: Ez a megközelítés értelmezésének kudarca miatt következik be. Ebben az esetben figyelmen kívül hagyják, hogy a moderátor ajtónyitási tevékenysége a résztvevő kezdeti döntésétől függ.
- A valószínűségek téves kiosztása: A moderátor művelete megváltoztatja a kezdeti esélyeket. Az ajtó kinyitása után az ajtó 0 eséllyel tartalmazhatja a járművet. Ezért a résztvevőnek most 50% az esélye, hogy a maradék ajtókon kocsit vagy kecskét választ.