A Taylor-polinom egy függvény polinomiális közelítésen egy adott pontban levezethető idők.
Más szavakkal, a Taylor-polinom egy adott ponton kiértékelt helyi származékok véges összege.
Matematikailag
Meghatározzuk:
f (x): függvény x.
f (x0): függvényxegy adott pontban x0. Formálisan ezt írják:
Fn)(x):naz f (x) függvény deriváltja.
Alkalmazások
A Taylor-bővítést általában olyan pénzügyi eszközökre és termékekre alkalmazzák, amelyek árát nemlineáris függvényként fejezik ki. Például a rövid lejáratú hitelviszonyt megtestesítő értékpapír ára nemlineáris függvény, amely a kamatlábaktól függ. Másik példa lehet az opciók, ahol mind a kockázati tényezők, mind a jövedelmezőség nem lineáris függvények. A kötés időtartamának kiszámítása első fokú Taylor-polinom.
Taylor polinom példa
Meg akarjuk találni az f (x) függvény Taylor-közelítésének második rendjét egy x pontban0=1.
1. Megalkotjuk az f (x) függvény vonatkozó deriváltjait.
Ebben az esetben a második sorrendig kérdeznek bennünket, így elkészítjük az f (x) függvény első és második deriváltját:
- Első származék:
- Második származék:
2. Helyettesítjük x-et0= 1 az f (x), f '(x) és f' '(x) értékekben:
3. Amint megvan a deriváltak értéke az x pontban0= 1, a Taylor-közelítéssel helyettesítjük:
Kicsit javítjuk a polinomot:
Értékek ellenőrzése
A Taylor-közelítés megfelelő lesz, annál közelebb az x-hez0 legyenek az értékek. Ennek ellenőrzéséhez az x-hez közeli értékeket helyettesítjük0 mind az eredeti függvényben, mind a fenti Taylor-közelítésben:
Amikor x0=1
Eredeti funkció:
Taylor közelítés:
Amikor x0=1,05
Eredeti funkció:
Taylor közelítés:
Amikor x0=1,10
Eredeti funkció:
Taylor közelítés:
Az első esetben, amikor x0= 1, azt látjuk, hogy mind az eredeti függvény, mind a Taylor-közelítés ugyanazt az eredményt adja nekünk. Ez annak a Taylor-polinomnak az összetételének köszönhető, amelyet a helyi származékok felhasználásával hoztunk létre. Ezeket a származékokat egy meghatározott ponton értékeltük, x0= 1, az érték megszerzése és a polinom létrehozása érdekében. Tehát minél távolabb van attól a bizonyos ponttól, x0= 1, annál kevésbé megfelelő a közelítés az eredeti nemlineáris függvényhez. Azokban az esetekben, amikor x0= 1,05 és x0= 1,10, szignifikáns különbség van az eredeti függvény eredménye és a Taylor-közelítés között.
De … a különbség nagyon kicsi, nem igaz?
Taylor polinomiális ábrázolása
Ha kiterjesztjük a szélsőségeket (ahol a közelítés elmozdul x-től0=1):
Első pillantásra jelentéktelennek tűnhet, de amikor a grafikonon dolgozunk és közelítéseket készítünk, nagyon fontos figyelembe venni legalább az első négy tizedesjegyet. A közelítések alapja a pontosság.